I. Cálculo de las raíces de un polinomio.
"Un número a es raíz de un polinomio P(x) si y sólo si P(a) = 0"
Teorema 1: "Si a es una raíz de la ecuación polinómica P(x) = 0, entonces (x - a) es divisor de P(x)"
Teorema 2: "Sea P(x) un polinomio no constante, entonces, P(x) tiene al menos una raíz, real o compleja"
Teorema 3: "Sea P(x) un polinomio de grado mayor o igual a 1, entonces P(x) tiene a lo menos n raíces distintas"
Si una ecuación polinómica tiene raíces iguales, se dice que tiene multiplicidad mayor que uno.
Ejemplo:
Sea el polinomio P(x) = (x - 2)3 (x - 1)(x + 3)2
Esta ecuación de sexto grado tiene tres raíces distintas y que son:
a) 2 de multiplicidad 3
b) 1 de multiplicidad 1
c) - 3 de multiplicidad 2
II. Raíces reales y raíces complejas:
Una ecuación polinómica puede tener raíces reales y/o raíces complejas.
En el caso de tener raíz compleja a + bi también debe ser raíz el conjugado de ella, es decir a - bi. Es decir, si una ecuación tiene raíces complejas el número de estas es siempre par.
III. Raíces enteras:
Sea el polinomio: xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x1 + a0
Si este polinomio tiene raíces reales, estos son valores enteros.
IV Raices racionales
Si p/q es una fracción irreductible que es raíz de la ecuación:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x1 + a0
Entonces p es divisor de ao y q es divisor de an
V. Relación entre los coeficientes de una ecuación P(x) = 0 y sus raíces:
Sea la ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
Entonces p es divisor de ao y q es divisor de an
V. Relación entre los coeficientes de una ecuación P(x) = 0 y sus raíces:
Sea la ecuación de segundo grado
Dividiendo por "a" la ecuación anterior:
x2 + b/ax + c/a = 0
Cuyas raíces son x1 y x 2 se tiene que
(x - x1 )(x - x2 )= 0
Desarrollando la expresión se tiene:
x2 - (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0
Entonces se debe cumplir:
(x1 + x2 ) = - b/a
x1 x2 = c/a
Para la ecuación de tercer grados:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
se debe cumplir que:
(x1 + x2 + x3 ) = - b/a y
x1 x2 x3 = c/a
En general en toda ecuación polinómica se debe cumplir:
a) La suma de las raíces es igual a: -b/a (donde b es el segundo coeficiente y a el primero)
b) Suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos es: c/a
c) Suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres es: -d/a
d) Producto de todas las raíces es: (-1)n a0/a
Para la ecuación de tercer grados:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
se debe cumplir que:
(x1 + x2 + x3 ) = - b/a y
x1 x2 x3 = c/a
En general en toda ecuación polinómica se debe cumplir:
a) La suma de las raíces es igual a: -b/a (donde b es el segundo coeficiente y a el primero)
b) Suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos es: c/a
c) Suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres es: -d/a
d) Producto de todas las raíces es: (-1)n a0/a
